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大学概率论知识点总结范文第1篇
关键词：情境认知；中职数学；概念教学
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）29-0088
一、问题的提出
数学概念是数学的逻辑起点，是学生认知的基础，是学生进行数学思维的核心，在数学学习与教学中具有重要地位。长期以来，人们对它的研究（学习和教学上）从未间断过。广大研究者对数学概念教学也开展了大量研究并取得了一定成果。但针对中学不同层次水平的学生，尤其是中等职业学校的学生开展实验的实证研究相对缺乏。中职学生数学基础薄弱，对数学概念的理解存在一定的难度。笔者认为，基于情境认知理论的数学概念探究教学对中等职业学校或许是一个有益的尝试。
二、理论依据
情境认知（Situated Cognition）是当代西方学习理论继行为主义“刺激――反应”学习理论与认知心理学的“信息加工”学习理论后的又一个重要的研究取向。情境认知理论认为知识是具有情境性的，学习只有被放在运用该知识的情境中时，有意义的学习才有可能发生。该理论关注社会环境场景与个体学习的交互情况，认为学习不可能脱离具体的情境而产生，情境被认为是重要而有意义的组成部分。该理论指出融入情境的知识学习，能帮助学生激发学生的学习兴趣，更好地理解知识，培养学生运用知识的能力。
基于上述认识，结合中等职业学校学生的特点，笔者对中职数学概念教学进行探究，力求在教学中提供真实或逼真的情境，以反映知识在真实生活中的应用情况，为学生更好、更直观地理解数学知识提供现实场景，从而拓宽学生视野、转变数学学习态度。
三、情境认知理论下的数学概念教学流程
情境认知理论下的数学教学是采取小组合作学习的方式来进行的，教师扮演的角色主要是布题者、促进沟通讨论者以及协助者的角色，而不再是解题者或是知识传授者的角色。布题时，教师要充分利用中职学生已有的知识和经验，提出的问题要处在中职生思维水平的“最近发展区”来进行布题，提供一个引发学生认知冲突的问题，引发学生进一步探究的动机。笔者把其流程分为四个阶段：1. 创设情境，冲突认知；2. 主动探究，构建认知；3. 合作学习，深化概念；4. 反思总结，建立概念体系。整个教学流程着重于通过情境设计，使学生发现问题、彼此观念的沟通与形成共识。在这一过程中，学生不仅获得认知上的成长，也提升对数学概念和原理的理解，从而使学生能系统、深刻、牢固地掌握数学概念。下面笔者就以随机事件的概率的教学为例，分别探讨这四个阶段的数学概念教学情境设计。
（1）创设情境，冲突认知
情境认知理论的突出特点是把个人认知放在社会情境中。生活的现实问题是对学生个人最有意义的学习，只有面对真实的问题情境，学生才会全身心地投入。因而，发现对学生是现实，同时又与所教概念相关的问题，创设对中职生来说是适宜的情境能引发学生原有认知结构与新现象的矛盾和冲突，激发学生探索兴趣。
给出问题情境：（课前2min）教师分发给每个学生一张白纸。绝大部分学生有点疑惑：“这纸什么用？”
教师：“大家买过体育吗，下面大家在老师刚才发给大家的白纸上写出一组6+1号码，过会儿老师开奖，老师这里有丰厚的奖品等着你们呢。”
（谈话引起全班学生的关注，学生兴趣较高。教师用多媒体课件展示开奖的结果。全班学生没有一个中奖，学生不服气，情绪高涨，好多同学想继续写号码。）
教师：怎么这么难中奖呀，那今天老师准备的奖品看来是分不出去了。
学生：（泄气）运气不好啊！
教师：这个“运气”如何从数学的角度来解释？
学生：（少数，低声）：概率。
教师：看来中奖的机会很小啊。现在老师手里有枚硬币，抛掷这枚硬币一次，刚好出现正面朝的可能性有多大呢？
（2）主动探究，构建认知
情境认知理论提出了为达到一种学习目标而设置、创设的功能性学习情境或环境的“实践场”，它强调在“做数学中学数学”，认为活动是个人体验的源泉，是个体建构的命脉，是学习者高水平的智力参与并产生出个人体验的最重要保证。事实上，“数学教学是数学活动的教学”、“活动就是开动脑筋，思考起来，做起来”，这种“活动必须是个人认知的亲身体验”，而“没有实际或思想的操作，数学概念将成为无源之水，无本之木”。在主动探究，构建认知过程中应充分发挥教师作为促进者的作用。
教师：大千世界，无奇不有！但从一些事件的发生与否的角度来看，我们却可以把它们简单分成三类。同学们，你们相信吗？
教师：观察下列现象，从发生与否的角度来看，能把它们分成几类？
①球在不停地运动吗？
②没有水分，黄豆能发芽吗？
③猜猜看：朱启南下一枪会中十环吗？
学生：一定发生的，一定不发生的，可能发生也可能不发生的。
教师：下面请同学们再思考一个问题：在实际生活中，我们遇到的事件若从其发生与否的角度来看，是否可分为一定要发生的事件，一定不会发生的事件，有可能发生也有可能不发生的事件？
（由学生归纳出事件按发生可否预知分类：必然事件、不可能事件、随机事件，教师板书，然后多媒体显示一组判断事件的练习，学生独立完成，巩固认知。）
在形成事件概念后，让学生欣赏一段为时近3分钟的《铁齿铜牙纪晓岚》片断，这段片断是生活中经常碰到的抓阄的问题，在这个片断中有随机事件和必然事件两种事件。通过欣赏这个片断，学生不仅可以利用刚刚学过的知识点来判断事件，同时更为重要的是学生通过这个片断进一步了解数学并不是脱离生活的，而在生活中是处处存在的。
（3）合作学习，深化概念
在数学概念教学中，为了使学生能准确地形成概念、理解概念、运用概念，在各种场合下促进学生进行交流是极为必要的。通过充分交流，学生不仅可以有更多的机会对自己的观念进行表述和反省，而且也可学会如何去聆听别人的意见并作出适当的评价。在实际教学中，教师必须结合具体概念的难易程度、抽象程度及组内成员的特点灵活选择合作学习的形式。
例如：为构建“频率”和“概率”概念，教师让学生小组合作，动手试验。
教师：我们从刚才的判断事件的练习中知道，“抛掷一枚硬币一次，刚好出现正面朝上”是一个随机事件。那么，大家猜猜看，如果我们重复地抛很多次硬币会出现什么结果呢？
学生：可能是一半正面朝上，一半正面朝下吧。
教师：对于随机事件，知道它发生的可能性大小是非常重要的，它能为我们的决策提供关键性的依据。我们下面来具体检验一下大家的猜测是否正确。那么，如何才能获得随机事件发生的可能性的大小呢？
教师：下面我们来抛硬币试验，抛掷一枚均匀硬币10次，观察并记录每次的结果。
要求：4人一组，1人抛，1人观察，1人记录，1人检查，数据记录得有条理。
（学生分组试验，兴趣较高；教师巡视分组合作情况）
教师：请各组反馈一下，刚才的抛硬币试验10次，正面向上的次数是多少？
生1：6次。
生2：5次。
生3：8次。
教师：这说明，随机事件发生具有什么性？
学生：随机性。
教师：在n次试验中，事件A发生m次，我们把m/n叫做事件A发生的频率。
教师：如果允许你做大量的重复试验，你认为正面向上这一事件的频率有无变化，在变化中有无规律？请同学们分组讨论。（学生讨论，有个别组又开始抛硬币试验。）
教师：为了弄清这个问题，历史上，有人抛硬币作了大量的重复试验，统计结果如下（多媒体显示计算机模拟抛掷硬币游戏，并显示表一）。同时，这里还有两组统计表。（多媒体逐一显示表二：某批乒乓球产品质量检查结果表，表三：某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表，然后多媒体同时显示三张统计表格）
教师：观察各表中事件发生的频率结果，分组讨论，事件的频率有无变化，在变化中有无规律？（学生分组讨论，气氛热烈，并寻求用合适的语言来归纳结论；教师巡视指导，及时了解讨论信息。师生共同总结发现的规律（略）。同时教师在频率的定义基础上板书概率定义。）
教师：事件的概率从数量上反映了一个事件发生可能性的大小，它是大量随机现象的客观规律，是对客观对象的一种估计。如：抛掷一枚均匀的硬币出现“正面向上”的概率是0.5的意义是（停顿）。
生1：“正面向上”出现的可能性是50%。
生2：抛10次硬币，有可能出现5次是正面向上的
（多媒体显示一组判断频率和概率的练习，学生独立完成，再多媒体显示新浪网上对姚明参加NBA以来罚球数据的统计，让学生回答如下两个问题，以深化概念）
①姚明罚球一次，命中的概率约是多少？
②能否预计一下在07-08赛季，如果姚明罚篮400次，大约能命中多少次？
教师：我们通过自己的观察、探究（提高声音），深刻地剖析了频率与概率的关系，这是书本上没有的。同学们刚才提到的是我们通过大量重复试验求其近似值的方法，以后我们将学习对于某些随机事件，也可以不通过重复试验，而只通过一次试验中可能出现的结果分析来计算其概率。下面，大家再回顾概率的定义，指出概率的范围。（学生自己去总结概率的范围0≤P（A）≤1）
教师：从这个意义上讲，必然事件与不可能事件可以看作随机事件的两个极端，这又一次体现了对立与统一的辩证思想。但要注意概率为1的事件不一定是必然事件，概率为0的事件也不一定就是不可能事件，这一结论，大家课后可以通过查找概率的有关资料，举出一个例子。
（4）反思总结，建立概念体系
反思学习是智能发展的高层次表现。大部分数学概念的形成都经历了一个反省抽象的活动。而理解一个数学概念就是指新概念的心理表征己经成为主体己有概念网络的一个组成部分，即与主体己有的知识和经验建立起了广泛的联系。反思总结、建立概念网络是在对形成概念，对概念进行运用的基础上的“反省”、总结。必须注意培养学生自觉反思总结的习惯。
教师：通过这节课的探究，让我们掌握知识的同时，还明白了很多道理。归纳为四句短语：从特殊中寻求规律，在试验中发现问题，从对立统一中体会辩证，在生活中运用数学。
四、教学启示和建议
情境认知赋予学习以意义，促进了知识向日常生活情境的迁移，由于其提供了真实情境的现实体验，因而丰富了学习过程，正所谓“学以致用”。从应用的角度来看，学习者必须将所习得的知识或经验“情境化”，否则这种知识是非常狭隘的、僵化的。而情境认知理论的数学概念教学，给学习者的知识迁移问题带来了曙光。有理由相信，在真实、互动的情境中学习，必定比传统的学习来得生动有趣，而且能灵活运用。
数学概念的抽象性决定了数学探究的复杂性，教师既要关注数学本身的特点，更要关注课堂上学生的掌握概念的思维状况，将数学知识和学生探究活动有机糅合，数学探究课既要防止“去数学化”倾向，又要避免建构无效数学探究活动。课堂教学情境的创设需要教师广泛猎取数学信息，积累数学知识、方法，运用实例。
参考文献：
[1] 淮安山.中学数学概念教学的情景设计[J].现代中小学教育，2005（10）.
大学概率论知识点总结范文第2篇
1突出知识的产生背景
简而言之，所谓的“突出知识的产生背景”就是让学生知道为什么要学习这个知识点。在编辑教材时往往出于篇幅以及学术性的考虑而略掉了知识点的产生过程或者应用背景。但教师在授课过程中应该让学生明了为何要学习这个知识点，也就是首先让学生了解该知识点的产生过程或者应用背景，从而激发他们对该课程的学习兴趣。例如，当讲授到概率的公理化定义时，教师不妨一开始就告诉学生为何要学习该公理化定义，其原因在于我们之前介绍了若干种计算概率的方法，既然不同的方法计算出来的都是概率，很自然地我们就要思考“什么才是概率”这个问题。而数学学科的一个特点就是用高度精确而简练的语言来描述自然界或者数学科学中具有相同性质的一些事物，那我们应该用什么样的最简洁的语言来给出概率的定义呢？接着教师不妨举一两个例子说明历史上数学家关于这方面工作的努力探索，再指出我们现在所学习的公理化定义是1933年前苏联数学家科尔莫哥洛夫所给出的。然后再引进概率的公理化定义，之后还可以通过对不同方法所得到的概率来对公理化定义进行检验，说明不同方法得到的概率都满足概率的公理化定义。这样一来，学生就知道了为什么要学习概率公理化定义，其学习兴趣也会大大提高。当然，突出知识的产生背景不一定在授课初始就告诉学生，也可以在授课过程中或者授课结束总结时给出。例如，当讲到棣莫弗-拉普拉斯定理，即若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，则对于任意区间[a，b)，恒有比较上述两式可发现前式有2000个数相加，而后式可通过查表很容易得到结果。于是最后给出总结：棣莫弗-拉普拉斯定理的作用就是把复杂计算进行简化的过程，它的主要作用就是把二项分布概率模型下若干项的概率之和转化为一个正态分布标准化查表计算的过程。
2加强课堂教学的师生互动
数学家的故事以及数学知识的产生历史或应用背景可以为枯燥的数学知识增添一些光泽，但为了提高课堂的教学效果，师生间的课堂互动必不可少。作为教学的另外一个主体———学生因为年龄处于20岁左右，注意力容易分散，如果没有有效的师生互动，学生的注意力很容易就会偏离课堂。那么如何才能达到师生之间的有效互动呢？笔者认为如下方法可行。
2.1课堂提问提问的问题应该是精心设计的，且应具备趣味性和启发性。一般而言，数学课堂的提问问题要和所讲授的公式或者定理紧密联系。例如在讲到“泊松近似定理”时，教师可以首先僵硬地摆出公式。然后提问学生：“你觉得左右两个公式哪一个比较简单”。由于学生高中开始就接触组合公式，所以他们对组合公式比较熟悉，一般情况下他们都会回答比简单。接着，引进例“某人骑摩托车上街，出事故率为0.02，若他独立重复上街400次，求出事故恰好两次的概率。”此时让学生甲、乙到黑板求解该题目，规定甲用组合公式，乙用近似公式。结果乙不用两分钟就可通过查表解决，而甲算半天得不到结果。最后教师可以把用组合公式计算的结果以及近似公式计算的结果给出，比较之后给出以下结论：实际上“泊松近似定理”就是把复杂的计算进行简化的一个工具，并且这种简化具有很强的实际应用，特别是在没有计算机的时代，这种简化优势特别明显。
2.2分组讨论让学生分组讨论问题，可以让每个学生都参与到课堂教学中，增加学生之间的相互交流，加深他们对所学知识的理解和掌握，也提高了学生学习的兴趣。例如在讲授“古典概率模型”时引进例“从一副没有大小王的扑克中，取五张牌，求下列事件的概率：A=出现，B=出现俘虏，C=出现四大天王，D=我们不妨先把公式展示出来，然后分析说明该定理可以陈述成若随机变量Y服从参数为n，p的二项分布，则近似地有Y～N(np,np(1-p))。于是，(2)相比之下，学生对(1)式中的积分和极限符号始终带有恐惧感，此时我们把(1)式化成了一个标准化的(2)式。而学生在高中就开始接触正态分布标准化的过程，所以这一个化简过程可以增加学生对该定理的好感，能够让学生完全掌握这个公式。此时，再引进下面的例子“在3000次抛银币的试验中，求正面向上的次数在500次到2499次之间的概率”。接着给出下面两种不同的解法：出现同色。”然后让学生分组讨论，最后各组选派代表在黑板上写出答案。由于该问题源于实际生活，学生都会积极地参与到讨论中，这样课堂气氛就会活跃起来，也提高了教学效果。
2.3黑板练习随机选择部分学生到黑板进行练习。有些大学教师或许会认为让学生到黑板进行练习是中学教师做的事情，实际上大学数学教学中随机选择学生到黑板练习也是必须并且很有意义的。随机地挑选学生到黑板进行练习可以让教师了解到学生对知识的掌握程度，同时也可以对学生的心理造成一定的影响，对抄袭作业等行为起到一定的抑制作用，并且也可以加强师生间的课堂互动。
3注意教材的灵活处理
首先教材的选择非常重要，要根据学生的授课学时、接受能力进行筛选。但是，即使确定好教材之后，授课内容也必须因材施教。例如在农业院校给农学的学生授课，在概率论方面应该注重理论知识的讲解，里面一些知识的推导必不可少，其逻辑性要求也应该严谨化。这样有助于学生数学思维的锻炼，也有助于提高学生学习数学的兴趣，如前文所介绍的棣莫弗-拉普拉斯定理的讲授。但对于数理统计部分内容，由于其知识推导需要较多较复杂的高等数学知识，所以在对农科数学学生授课过程中就不宜于详细证明和推导，而更应该侧重于思想以及知识的实际应用。例如，在讲授“无交互作用的双因素的方差分析”时，对于公式SST=SSA+SSB+SSE我们可不必进行严格推导，只是粗略地介绍一下其推导原理，即，而更应该注重于SST，SSA，SSB，SSE的意义，并且突出“无交互作用的双因素的方差分析”的应用背景。这样的授课方式，即概率论方面注重于理论推导、数理统计方面注重于实际应用的处理方法主要是根据农业院校的学生文理兼有、数学基础参差不齐并且学时数不多的情况而采用。否则，若把数理统计部分内容也进行严格化证明和推导，那对于很多高中选修文科上来的大一学生来说无疑是难度过大，最终虽然教师授课认真辛苦，但教学效果会大打折扣。因此，教师应该根据不同的学科需要并且根据不同的学生水平选择适当的教材，并合理地处理教材中的授课内容。
4留意知识的前后联系
概率论与数理统计是数学学科的一个分支，因此在授课过程中教师也应该时时留意知识的前后联系。这里所讲“知识的前后联系”主要有以下两种情况：第一，新旧概念的区别联系。当讲授到一个新概念，发现它与某些旧概念有密切联系或者容易产生混淆时就应该对两者进行对比辨析。例如，当讲授到“相互独立”概念时，很多学生都会把它与“互不相容”概念联系在一起或者对这两个概念产生混淆。此时，教师应该通过例子说明“相互独立”与“互不相容”没有任何联系；第二，新旧结论的区别联系。当讲授到一个新结论，发现它和原来的结论容易产生混淆时，教师也应该通过例子对两者进行辨析。例如在讲授完“独立同分布的中心极限定理”之后，很多学生就会把它和“切比雪夫不等式”混淆。此时不妨引进下面例子“一零件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，相互独立，且具有同一分布。其数学期望是2mm，均方差是0.05mm，规定总长度为20±0.1mm时产品合格，试求产品合格的概率。”然后让学生用“独立同分布的中心极限定理”和“切比雪夫不等式”来求解(也可以分组讨论)。通过这个例子可以很好地让学生明白“切比雪夫不等式”一般用于理论研究，得到的结果比较粗糙(该例用“切比雪夫不等式”将得到一个毫无疑义的但并无矛盾的不等式)。相比之下，“独立同分布的中心极限定理”更具有实际应用的价值。除此之外，教师还应在授课过程中注意到新旧知识的前后承接或者同一概念的前后变异。例如，在讲授到数理统计知识时书本往往针对于正态总体进行展开，这时候就要复习中心极限定理以及通过实例来说明现实生活中大部分的随机变量都服从或者近似地服从正态分布，因此数理统计基本上都是针对正态总体进行研究。另外，在讲授到回归分析中的样本相关系数应该和概率论中所讲授的两个随机变量的相关系数进行对比，这样就可以让学生更好地理解样本相关系数的作用以及定义的形式。总而言之，在授课过程中教师应时刻留意知识的前后联系，这样可以使学生对新旧知识有更好的理解和认识，也加深他们对新旧知识的记忆和掌握。
5注重理论的实际应用
大学概率论知识点总结范文第3篇
1 新加坡《提纲》简要说明
新加坡《提纲》中以数学问题解决为数学学习的核心，并从知识、技能、过程、态度、元认知五个互相联系的维度来发展数学问题解决能力.数学知识包涵了数字、代数、几何、统计、概率和分析.数学技能包括数值计算，代数运算，空间想象，数据分析，测量，数学运用工具和数学评估判断等程序性技能.数学过程指数学知识的学习和应用过程中的能力，具体包括推理，交流和联系，思维技能和启发，数学应用和数学建模.态度包括对数学和应用数学的信念、学习数学的兴趣和乐趣、欣赏数学美和数学作用的能力、运用数学的信心、解决问题的毅力等.元认知，或者对认知的认知，指意识，一种控制自己思维过程的能力，尤其是问题解决策略的选择和应用，它包括监控自己思维过程和自我监控学习.[2]
2 “统计与概率”内容的介绍
中国《标准2011》的初中阶段为7～9年级，新加坡《提纲》中学阶段为中一到中五，将初中阶段和高中阶段的内容都合在一起.新加坡《提纲》中的中一到中三就相当于中国《标准2011》的为7～9年级.《标准2011》将“统计与概率”内容划分为抽样与数据分析和事件的概率这两个方面；而《提纲》将“统计与概率”内容分为三个方面：数据处理、数据分析、概率.以下是两个课程标准的具体介绍如表1所示.
中国 新加坡
数据收集、整理和描述 ·经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的过程；能用计算器处理较为复杂的数据.
·体会抽样的必要性，通过实例了解简单随机抽样.
· 会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据. ·数据收集的方法：测量 、调查、数据分类 、阅读观察的结果或事件的结论
·建构及解释：表格、条形图 、象形图、线状图形 、饼图 、柱状图
·不同形式统计图表的目的、使用、优点和缺点
数据分析 ·理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述.
·体会刻画数据离散程度的意义，会计算简单数据的方差.
·通过实例，了解频数和频数分布的意义，能画频数直方图，能利用频数直方图解释数据中蕴含的信息.
·解释和分析：点状分析图和茎叶图
·平均数、众数和中位数等概念
·平均数、众数和中位数的意义和使用
·计算一组数的平均数
·四分位数和百分数
·用值域、四分位差、标准差测量数据
·解释和分析：累积频数图和盒须图
·计算一组数据标准差（分组和未分组）
数据判断与预测 ·体会样本与总体的关系，知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数和总体方差.
·能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和推测，并能进行交流.
·通过表格、折线图、趋势图等，感受随机现象的变化趋势. ·根据统计图表得出简单推论
·用平均数和标准差比较两组数据
事件发生的可能性 ·能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率.
·知道通过大量的重复试验，可以用频率来估计概率. ·概率是作为事件发生机会的衡量
·单个事件的概率（即通过列出一个事件所有可能出现的结果来计算概率）
·简单组合事件的概率
·概率的加法和乘法
·互斥事件和独立事件不包括P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A∩B）的使用
3 “统计与概率”内容的比较分析
通过比较分析《标准2011》和《提纲》，可以发现文化不同，社会制度不同的两个国家在课程标准的“统计与概率”领域内容有同有异，下面就两者的相同点和不同点进行比较分析.
3.1 相同点
（1）都注重数学“双基”
“双基”是我国教育的传统和特色，我国历来重视学生的基础知识的理解和基本技能的训练.《标准2011》明确指出要理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数；了解事件的概率.[1].而且《标准2011》在“双基”的基础上继续发展，提出“四基”，更强调了“双基”的形成过程和“双基”的深化内涵.《提纲》也提出要学会数据收据的方法，制作分析图表，掌握中位数、众数、平均数和标准差的计算及其意义，要理解概率的意义并会计算概率等，并且《提纲》在总目标中也强调掌握日常生活中必需的数学概念和技能.[2]由此可见新加坡也十分重视基本知识的掌握和基本技能的操作.
（2）均重视学生的“问题解决”能力
两国都十分注重对学生问题解决能力的培养.新加坡《提纲》在总目标中明确强调发展数学思维和问题解决能力，并应用这些能力来构造和解决问题，[2]并且新加坡的数学框架就是将数学问题解决作为数学学习的核心，而数学问题解决能力的发展又依赖于知识、技能、过程、态度和元认知五个维度.《标准2011》在总目标中明确提出要增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，并将“问题解决”单独列为总目标下的一个方面，要求学生从实例中理解所学概率统计知识的意义，在将所学知识用到实际生活中去解决问题.[1]
3.2 不同点
（1）内容标准的具体目标呈现方式不同
《标准2011》对每个知识内容都提出了详细的要求，用丰富的具体的动词来描述，如“通过实例”、“了解”、“理解”、“体会”、“掌握”、“探索”等，并在此基础上附以丰富的实例说明.《标准2011》这种指标性的呈现方式有利于学生准确的掌握每个知识点，有利于教师更好的把握教学内容，但易于忽视学生的差异性.《提纲》对每个具体点应该掌握到何种程度并没有提出明确的要求，这样的内容标准有利于照顾学生的个性差异，根据学生自己学习能力层次的不同，达到不同的水平；还有利于教学的弹性，有利于对学生创造性的培养.
（2）内容的广度与深度不同
从内容广度上看，两国关于“统计与概率”的基本内容差异不大，大体上《提纲》的内容广度较大.在统计领域，从描述和分析数据的统计图方面分析，《提纲》对涉及的图表比较多，有表格、条形图 、象形图、线状图形 、饼图 、柱状图、点状分析图、茎叶图、累积频数图和盒须图等，而《标准2011》只涉及扇形统计图、频数直方图、表格、折线图等；从分析数据的量方面分析，《提纲》和《标准2011》都要求理解平均数、众数、中位数、方差和标准差等的意义并掌握其计算，但新加坡《提纲》在此基础上还要求用四分位和百分比、四分位差测量数据.在概率领域，《提纲》要求学习的概率内容包括：单个事件的概率、简单组合事件的概率、互斥事件和独立事件等，而《标准2011》则仅要求能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件的结果并计算简单事件概率.由此可见，无论是统计领域还是概率领域，新加坡《提纲》的知识点均多于《标准2011》的知识点.
从内容深度上看，统计部分《标准2011》比较深，概率部分《提纲》比较深.统计部分中《标准2011》要求学生学会抽样，能用图表解释信息，通过样本推断总体、并能根据结果作出判断和推测；[1]《提纲》仅要求能制图、看图解释，并能作简单推论.概率部分中《标准2011》仅要求了解事件的概率，而《提纲》还要求掌握概率的加法和乘法原理.[2].
4 启示
通过对中国《标准2011》和新加坡《提纲》比较分析，得到以下几点启示：
4.1 加强培养数学交流能力，学会合作学习
数学能力除了逻辑思维能力、数学运算能力、空间想象能力和分析问题和解决问题的能力之外，还包括数学交流能力.数学交流能力就是学生发表对问题看法，通过数学交流，学生能更深刻的理解知识，激发学生对数学的兴趣，相互促进，相互提高.合作学习是学生有效学习方式之一，是一种学生在课堂中自己积极探究问题的学习过程，能有效激发学生学习兴趣、提高学习的积极性和主动性，培养学生的创造精神.《提纲》非常注重学生的合作交流能力，在总目标中明确要求发展数学交流能力，并学会合作学习.《标准2011》虽在总目标中强调合作交流的重要性，但在统计与概率这个内容领域中却几乎没有体现，在这方面有待改进.
4.2 加强数学思想方法
中学概率统计中的数学思想可分为特有的数学思想和一般的数学思想，其有的数学思想主要有随机思想、统计调查思想、统计推断思想等；一般的数学思想主要有化归思想、模型化思想、数形结合思想等.《标准2011》虽然在总目标中明确提出要培养学生的基本数学思想方法，但在统计与概率这个领域的具体内容中却没有明确指出.数学思想方法属于数学基础知识的升华，是蕴涵在具体的数学知识中的，是数学知识的精髓，也是联系数学各类知识的纽带.要提高学生的数学素养，不仅要使学生掌握数学知识，而且要培养学生的数学的思想方法，使学生学会用数学的方法思考.
4.3 注重数学的现实性
荷兰数学教育家弗赖登塔尔（Hans Freudenthal）提出“现实数学教育”.现实数学教育思想实质是将数学学习与现实生活密切联系起来，学生通过日常生活经验学习数学，把学到的数学知识应用到日常生活中去.[3]加强数学与现实生活的联系，有利于引起学生对数学的兴趣，有利于学生了解数学的价值，有利于培养学生的应用意识.在这点上，《标准2011》和《提纲》的概率与统计领域知识与现实生活联系仍需加强.
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（2011版）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.
[2] Ministry of Education.Singapore.Secondary Mathematics Syllabuses[S]. Singapore∶Author，Curriculum Planning.2007.
大学概率论知识点总结范文第4篇
关键词：概率；统计；特点；方法
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）19-320-01
一、概率统计的背景和地位
根据最新高中数学教学大纲的要求，概率与统计的内容在新课程中分为必修和选修两部分，其中概率部分为必修部分。而选修部分则分为文科和理科两种：文科包括抽样方法，总体期望值和方差的估计等；理科包括离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望值和方差，总体分布的估计，抽样方法，线性回归，正态分布等。这些内容之前都是大学课堂才讲授的内容，现如今在高中的教材中出现，充分体现了其重要性和实用性。虽然所讲授的内容属于简单部分，但是它为高中生提供了一个很好认识数W应用性的平台，为学生以后进入大学阶段学习提供了一个理想的过度阶段。
二、内容和特点
在高中阶段概率和统计主要包括以下几个部分：
1、统计部分
（1）随机抽样 包括简单随机抽样，系统抽样和分层抽样三块；
（2）变量的相关性 学会利用散点图，认识变量间的相关性；知道最小二乘法的思维，学会建立线性回归方程.
（3）用样本估计总体 包括频率分布直方图、频率分布表；知道均值，方差特殊值等；用样本的频率分布估计总体分布，用样本的数字特征估计总体的数字特征。
2、概率部分内容：
（1）随机事件的概念，了解频率与概率的区别与联系；（2）随机事件的基本事件数和事件发生的概率，了解互斥事件的概率加法公式，独立重复试验（3）随机数的意义，能运用模拟方法估计概率，建立简单的几何概型。
3、教材优点分析：（1）教材具有强调经典案例的作用。高中数学课本无论在背景材料、例题和阅读与思考栏目的选材上都注意联系实际，可以很好的锻炼学生的思维，结合学生的兴趣，活学活用。（2）注重统计思想和计算结果的解释。教科书中突出统计思维的培养和解答过程，如在概率的意义部分，利用概率解释了统计中似然法的思想，解释了遗传机理中的统计规律。统计实验中随机模拟方法的原理就是用样本估计总体的思想。（3）注重现代信息技术手段的应用。由于概率统身的特点，统计需要分析和处理大量的数据，概率中随机模拟方法需要产生大量的模拟试验结果，并需要分析和综合试验结果，所以现代信息技术的使用就显得更为必要.
三、教学方法和策略
1、掌握统计思维的特点和作用。学习统计，最重要的就是掌握其思维和题目特点。统计的特征之一是通过部分数据来推测全体数据的性质。由于结果具有随机性，因此统计推断有可能错误，但统计思维又是一种重要的思维方式，它由不确定的数据进行推理随机事件的基本事件数和事件发生的概率也同样是有力而普遍的方法。因此使学生体会统计思维的特点和作用，关键是通过教学中注重通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，以使学生认识统计的作用。
2、采用案例教学，注重数据的收集。高中阶段统计教学应通过案例为主线，使学生经历较为系统的数据处理全过程来学习一些常用的数据处理的方法，从而解决简单的实际问题。同时，具体的案例也容易帮助学生理解问题和方法的实质，更好的帮助学生理解问题。
3、注重对随机现象与概率意义的理解。概率是研究随机现象的科学， 概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义。由于随机试验结果不确定，导致试验之前无法预料哪一个结果会出现，表面看无规律可循，但当我们大量重复实验时，实验的每一个结果都会出现其频率的稳定性。因此，教学时应让学生在实际情景中来体会这一点。
4、建立概率模型。学生学习时，首要的是对各种概率模型的理解和应用，教学中应注意使学生经历从多个实例中概括出具体的概率模型的过程，体会这些例子中的共同特点，从而理解各种概率模型，并且在实际问题中培养学生识别模型的能力.此外教师在教学的过程中，也要注重与其他高中数学知识的结合，使学生体会到数学知识是相通的，激发学生学习其他数学知识的兴趣。
5、注重建立正确的概率直觉。学生存在着一些生活经验，这些经验是学生学习概率的基础，但是其中往往有一些是错误的不科学的。怎样建立正确的概率直觉是概率教学的一个重要目标。要实现这个目标，必须让学生亲自经历对随机现象的探索过程，引导学生首先猜测结果发生的概率；然后亲自动手进行实验，收集实验数据，分析实验结果，并将所得结果与自己的猜测进行比较；最后可以建立理论的概率模型，并与实际结果联系起来，学生在此过程中不断将自己的最初猜测、实验结果和理论概率进行比较，这将促进他们修正自己的错误经验，建立正确的概率直觉.
四、高考对概率统计部分的考察
统计的概念及其计算分析是高中新课程概率部分的必修内容，试题设计比较基本，注重考查灵活应用“相互独立事件的概率乘法”、“互斥事件的概率的加法”或“先求事件的对立事件的概率”等基础知识处理问题，从而考查考生的思维能力和运算能力。
高考在选修部分的命题中，努力体现文理科内容上的不同的要求和学生的实际水平。文科试卷集中在抽样方法、总体分布的估计、总体期望值和方差的估计。其中随机抽样中，简单随机抽样，系统抽样与分层抽样的共同特点是，它们都是等概率抽样。试题考查数理统计中分层抽样的方法在生产和生活中的应用以及简单的计算技能。而理科试卷则集中在离散型随机变量概率分布的基础知识和基本计算要求考生能够识别题中提出的随机变量服从什么分布，并应用相关公式，求出其分布列、期望值和方差等。
参考文献：
[1] 中华人民共和国教育部制定，普通高中数学课程标准（实验），北京：人民教育出版社，2003.
大学概率论知识点总结范文第5篇
1教学中适当引入数学史内容，从而激发学生学习兴趣，收到事半功倍的效果
一堂成功的数学课是有血有肉的，不仅仅是充满了逻辑性，包括定理以及证明，还应该富含生动的引例，活生生的人物，以及那激动人心的重要数学发现。相信生动的、激动人心的事情总是令人记忆深刻的。概率论的起源———关于一场赌金的风波可以作为绪论课别开上面的开场白。梅勒和赌友打赌，各押赌注32枚金币，谁先掷出3次6点谁就赢。一段时间后，梅勒掷出两次6点，对方掷出一次6点，这时梅勒有事中断。那么，两人应该怎样分配赌金？学生在感慨一门学科有了这么不光彩的出身的同时，也在暗暗思索如何更加合理的分配这笔赌金，从而开始进入第一章的学习，在结束第一章的时候，答案也即将揭晓。在讲到概率的公理化定义的时候，很多学生觉得莫名其妙，难于理解，这时可以插入法国数学家贝特兰的概率悖论：在圆内任作一弦，其长度超过圆内接等边三角形边长的概率是多少？从而引出了三个不同的结论。面对这样可怕的漏洞，科学家们发起了一场对概率基础理论的“攻关”战，终于在1933年被前苏联数学家柯尔莫哥夫攻克，建立了概率的公理化定义。这就要求教师本身做一个有心人，多搜集一些数学史上的典故，以及数学家轶事，在课堂中适当的引入，从而激发学生的学习兴趣，收到事半功倍的效果。
2课堂上重视复习环节，为学生顺利掌握新知识铺平道路
独立学院学生中有很大一部分没有独立学习的习惯，对教师的依赖性极强，不独立完成作业，课后不及时复习。因此，课堂上就不会有好的教学效果。那么，针对学生这些特点，一方面教师督促学生培养好的数学习惯（见四），另一方面就要讲求教学方法，以及教学内容的设置。复习环节就显得至关重要，它起到了了承上启下的作用。每次课都要用15—20分钟的时间对上次课的内容予以总结和回顾，也包含新课需要的以往知识点的回顾。例如讲到“随机变量分布函数”这一节时，就需要复习高等数学相关知识，如无穷限积分定义以及计算，积分区间可加性等学生容易遗忘的内容。在讲解“区间估计”这一节时，一定要引入一个习题，复习未知参数的最大似然估计量，再展开新知识点的教学，这并非是在浪费时间，而是针对学生的特点，因材施教，这样才能取得相对较好的教学效果。
3授课内容条理清晰，重点突出，做题步骤明确
如何在有限的教学时间内让学生记住最重要的知识，就需要教师授课内容条理清晰，重点突出。如在讲授“随机变量函数的分布”这一节时，关于连续型随机变量函数概率密度的求法，书上的定理内容繁琐，不便于学生记忆，笔者按照步骤作以总结。（一）适用条件：函数y＝g（x）单调、可导，导数恒不为零。（二）计算步骤：①求反函数x＝h（y）②求反函数的导数h＇（y）③求值域a＜y＜b④套公式fY（y）＝fXh（y）h＇（y），a＜y＜b0，其，它按照步骤做题，学生按部就班，比较容易理解和记忆。又如在讲解连续型随机变量边缘概率密度的求法的时，如已知联合概率密度f（x，y），求关于X的边缘概率密度f1（x），我总结了“两个范围”，即（1）x介于两个常数之间（2）积分变量y的上下限的确定（用含x的表达式）。这样就不容易混淆，学生可以较顺利的完成题目。
4教师有意识培养学生良好的数学学习习惯
良好的学习习惯将影响人的一生，教师应该在教学中及时纠正学生不良的学习习惯，灌输教导正确的习惯，包括课前预习，课堂上做笔记，课后独立完成作业，有问题及时解决等。在课堂讲授知识的时候，遇到重要的定理，以及教师作以的总结等重要的地方，不妨停顿一下，留一些时间强行让学生记笔记，或者记到教材指定的位置上。关于课后作业，很多学生参考课后题解，缺乏独立思考的过程，针对这种情况，教师对真正独立完成作业或者有奇思妙解的同学在课堂上给予表扬，在平时成绩中也相应的加分以资鼓励，对于有严重抄袭现象的学生，平时成绩要相应扣分，以示惩罚。教师不妨向学生推荐一些数学方面的科普书籍，让学生从读书的过程中培养对数学的兴趣，从而变被动学习为主动学习。
5联系实际生活，分类处理习题，培养学生应用能力和创新能力
