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等腰三角形的性质范文第1篇
考点1 求角度
例1(2009年黄冈)在ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50，则∠B等于__________度.
解析:由于顶角可能是锐角,也可能是钝角,所以应分两种情况.如图(1),由于AB=AC,由等腰三角形的性质可知∠B=∠C,又因为DEAB,所以∠AED=90o,而∠1=50o,所以可求得∠A=40o.根据三角形的内角和定理,可得2∠B+40o=180o,于是可求得∠B=70o.如图(2),∠B=∠C,∠1=50o,又因为DEAB,所以∠DAB=40o,再根据三角形的外角定理即可求得∠B=20o.综合两种情况,可知∠B等于700
例2(2009年怀化)如图,在RtABC中,∠B=90o,ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E.已知∠BAE=10o,则∠C的度数为()
A.30oB.40oC.50oD.60o
解析:由于ED是AC的垂直平分线,所以EA=EC,所以∠1=∠C(等边对等角);由于∠B=90o ,∠BAE=10o,所以∠3=80o,再由三角形的外角定理可知∠C=∠1=0o=40o.故答案是B.
说明:(1)几何计算最关键的是找出量与量的关系,有时可用列方程(组)的办法来解决;(2)在等腰三角形中求角度的计算,应牢记“等边对等角”这一性质.
考点2 求线段的长
例3(2009年朝阳)如图,ABC是等边三角形,点D是BC边上任意一点,DEAB于点E,DFAC于点F.若BC=2,则DE+DF=________.
解析:要求的是DE+DF的长,应设法把两段转化成一段.过B点作AC的垂线,垂足设为G,过D点作BG的垂线,垂足设为H,则四边形DFGH为矩形.接下去可考虑证明BDE和DBH全等:∠BED=∠DHB=90o,∠BDH=∠C=∠DBE,BD=DB,所以BDE≌DBH;然后利用三角形全等的性质可得DE=BH,这样即可把DE+DF转化成线段BG的长.而BG是等边三角形的高,根据BC=2,以及“三线合一”的性质,利用勾股定理即可求出BG,BG==.故DE+DF=.
例4(2009年牡丹江)有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为6m,8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.
解析:在RtABC中,∠ACB=90o,AC=8,BC=6;由勾股定理得:AB=10,扩充部分为RtACD.扩充成等腰ABD应分以下三种情况:
①如图1,当AB=AD=10时,可求得CD=CB=6;得ABD的周长为32m.
②如图2,当AB=BD=10时,可求得CD=4.
由勾股定理得:AD=4,得ABD的周长为(20+4)m.
③如图3,当AB为底时,设AD=BD=x,则CD=x-6,
由勾股定理得:x=,得ABD的周长为26m.
说明:(1)“等边对等角”适用的条件是在同一个三角形中,在不同三角形中不能用;(2)“三线合一”指的是底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合,对于腰上的高、腰上的中线,底角的平分线则不成立.
考点3 与等腰三角形有关的证明
例5(2009年衡阳)如图,ABC中,AB=AC,AD、AE分别是∠BAC和∠BAC外角的平分线,BEAE.
(1)求证:DAAE;
(2)试判断AB与DE是否相等?并证明你的结论.
解析:(1)由于AD、AE分别是∠BAC和∠BAC外角的平分线,∠BAC+∠BAF=180o,可推出∠BAD+∠BAE=(∠BAC+∠BAF)=80o=90o,即∠DAE=90o,于是可证得DAAE;(2)从观察分析来看,可猜想四边形AEBD是矩形,然后进行推理,证明这个结论,在此基础上即可得出AB=DE.
例6(2009年定西)如图,ACB和ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90，D为AB边上一点,求证:
(1)ACE≌BCD;(2)AD2+DB2=DE2.
等腰三角形的性质范文第2篇
1 教材分析
八年级上册第1章是“轴对称与轴对称图形”,“等腰三角形”是本章第4节的内容.本节是在学习了轴对称图形、线段和角的轴对称性的基础上安排的.主要内容是:(1)通过探索活动认识到等腰三角形的轴对称性;(2)在实际探索中发现等腰三角形的性质;(3)研究已知底边和底边上的高作等腰三角形的方法.
等腰三角形的轴对称性及“两个底角相等”、“三线合一”,是等腰三角形的重要性质,是今后证明角相等、线段相等及两条直线垂直的重要依据.教材通过剪纸、折叠、观察、思考等一系列的探究活动,在问题串的引导下,由学生发现并概括出这些性质,这都是要求学生必须牢固掌握的.
等边三角形是等腰三角形的特殊情况,它除了具有等腰三角形的性质外,还具有自己的特殊性质:(1)有三条对称轴;(2)每个角都等于60°.等边三角形的性质实际上也是“等腰三角形的两个底角相等”的问题,只是由于等边三角形的三条边都相等,所以它的三个内角也相等,再由三角形内角和定理,可推出它们都等于60°.
由于有关证明的知识教材安排在八年级下学期,所以教材中的例题1对“等边三角形的每个内角都等于60°”采取了说明的方式,这个说理过程实际上是对这一结论的严格的推理证明.教材从本节开始,在例题、练习与习题中逐渐增加了说理训练的要求,以便发展学生的推理能力,并且为八下学习的逻辑推理证明作必要的铺垫.“挑战自我”栏目中用正方形白纸折等边三角形的问题,既是一个具有挑战意义的问题,又是一个有趣的智力游戏.
已知底边和底边上的高作等腰三角形是尺规作图问题,这个作法分四步:
(1)作线段AB,使AB=a;
(2)作线段AB的垂直平分线EF,交AB于点D;
(3)在射线DE上截取线段DC,使DC=h;
(4)连结AC、BC.
ABC就是所求作的等腰三角形.
可见,上述作法实际上包含两个基本尺规作图问题:其中的(1)、(3)两步是作一条线段等于已知线段,第(2)步是作已知线段的垂直平分线.
在对教材作以上分析的基础上,可以确定出本节课的教学目标是:
1.经历探索等腰三角形的性质的过程,掌握等腰三角形的轴对称性、等腰三角形“三线合一”、等腰三角形的两个底角相等等性质.
2.经历探索等边三角形的轴对称性和内角性质的过程,掌握这个性质,并会作出合理的说明.
3.掌握已知底边和底边上的高用尺规作等腰三角形的方法.
教学重点:等腰三角形的性质.
教学难点:利用等腰三角形的性质说明“等边三角形的每个角都等于60°”.
教学课时:2课时.
2 学情和学法分析
2.1 学生在学习中常见的认识误区和思维障碍
(1)对等腰三角形的轴对称性理解不深刻
关于等腰三角形的轴对称性要求同学们做到全面理解,既要认识到它是轴对称图形,又要说出其对称轴来,为此,同学们应明确以下两点:①等腰三角形是轴对称图形;②等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线.对于第①点,同学们通过动手操作可以很容易发现,而对于第②点则往往出现认识、理解不深刻的现象,从而导致错误.常出现下面的错误认识“等腰三角形是轴对称图形,其对称轴是底边上的高”.
(2)不能正确理解“三线合一”的性质
等腰三角形的“三线合一”的性质是指等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线重合.这里的“线”都是指线段,对于这一点,初学的同学往往出现认识上的问题,如出现类似下面的错误判断:
因为等腰三角形底边上的中线也是底边上的高,所以也是底边上的垂直平分线.
事实上,在等腰三角形中,顶角平分线、底边上的高和底边上的中线是同一条线段,它垂直于底边,而底边的垂直平分线是垂直于底边的直线,这是两个不同的概念.
2.2 学法指导
(1)鼓励学生自主探究,自己归纳、总结、发现等腰三角形的性质.对于等腰三角形的性质,教师可通过适当的素材(问题串),给学生提供思考的空间,鼓励学生自己独立解答,然后进行相互交流,在相互交流中加深对等腰三角形性质的理解.
(2)引导学生在独立思考的基础上进行合作交流.为防止出现对等腰三角形的性质理解不深刻的现象,可在同学们总结、归纳出等腰三角形的性质后,给出一些判断性的问题,让学生去甄别真假.
(3)注重认识结构的优化.关于等腰三角形的概念在七年级下册已经学过,学完等腰三角形的性质以后,引导学生进一步加深对等腰三角形有关概念的认识,以扩充学生原有的数学认识结构.
3 教学建议
全日制义务教育《数学课程标准(实验稿)》(以下简称《标准》)指出:有效的数学学习活动不能单纯地依靠模仿与记忆,动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.所以,我们应下力气改进学生的数学学习方式,本节内容是进行教学方式改革的良好素材.
3.1 注重实验操作
《标准》指出:“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的,这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动.”等腰三角形的性质,是学生通过剪纸、折叠、观察等活动,在对教材给出的一系列问题进行思考的基础上概括出来的,所以,教学中要注重实验操作.因为学生在动手实验的基础上,既能从中发现等腰三角形的性质,还能体验到问题的结论和方法之间的精彩过程,以已有的知识和经验为基础进行积极“和谐”的建构过程,从而把新的学习内容正确地纳入到已有的认知结构中去.
为了让学生自主发现、得到等腰三角形的性质,教材是让学生通过下面的实验归纳得到的:如右图,用纸剪一个等腰三角形ABC,将三角形对折,
使它的两腰AB与AC重合,记痕迹与底边BC的交点为D,
把纸展开后铺平.思考下面的问题:
(1)等腰三角形ABC是轴对称图形吗?
(2)∠BAD与∠CAD相等吗?为什么?
(3)∠B与∠C相等吗?为什么?
(4)折痕所在直线AD与底边BC有什么位置关系?
(5)线段BD与线段CD的长相等吗?
(6)你能总结一下折痕所在直线AD具有的性质吗?
学生通过剪纸、折叠、观察、思考等探究活动,在以上6个问题的引导下,能自主发现并概括出等腰三角形的轴对称性及“两个底角相等”、“三线合一”等重要性质,这是今后证明角相等、线段相等及两条直线互相垂直的重要依据.
3.2 尊重学生的主体地位
在归纳等腰三角形性质的实验中,“剪等腰三角形”是关键的一步,在这个活动中,教师应鼓励学生独立完成,如果学生在剪等腰三角形的过程中,遇到了困难,教师可给以提示和引导,在学生剪出等腰三角形,可让学生总结出这一方法:
在纸上任意画一个角A,在∠A的两边上用圆规分别截取AB和AC,使AB=AC.连结BC,沿AB,BC,CA剪下,就得到等腰三角形ABC.
3.3 使用合作交流的学习方式
对于问题(1),先由学生自己思考、猜想,然后相互交流自己的看法,师生共同总结出等腰三角形的性质――等腰三角形是轴对称图形,等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线.这个性质包含两部分,前面的部分说明等腰三角形是轴对称图形,后面的部分是说明对称轴的位置或是怎样形成的,这一点同学们往往不够重视,从而出现这样或那样的错误.一个图形的对称轴是一条直线,既然等腰三角形是轴对称图形,就需要进一步明确对称轴的位置.这条直线就是等腰三角形底边的垂直平分线.一定要向同学们交代清楚等腰三角形的对称轴是一条直线,而不是线段,这样学生就不会误认为等腰三角形的对称轴是底边上的中线了.
问题(2)―(5)反映了等腰三角形的“三线合一”和“底角相等”的性质.这些结论的获得过程都可以采用合作交流的学习方式,可在学生充分思考、猜想、讨论的基础上,通过全班交流加以肯定.
在引导学生“已知底边和底边上的高用尺规作等腰三角形”时,应先引导学生回顾已经学过的四种基本尺规作图,然后就本作图题展开讨论,通过交流使学生认识到:问题的关键是作出等腰三角形的三个顶点,在作出线段AB=a后,关键是确定顶点C的位置.
3.4 加强对学生推理能力的培养
《标准》认为推理能力主要表现在三个方面:(1)能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想,并进一步寻求证据、给出证明或举出反例;(2)能清晰、有条理地表达自己的思考过程,做到言之有理、落笔有据;(3)在与他人交流的过程中,能运用数学语言、合乎逻辑地进行讨论与质疑.教材中的几何内容是培养学生推理论证能力的主要素材.关于严格的证明问题,教材在八下才学习,但从本节课开始就应加强对学生推理能力的训练.所以教材安排的例1实质上就是一道推理题,教学中宜分四步进行:(1)教师应鼓励学生用自己的语言进行说明;(2)学生之间进行交流;(3)让学生用合乎逻辑的语言完整的叙述出来;(4)教师严格的按照逻辑推理的格式加以板书.
等腰三角形的性质范文第3篇
关键词 几何认知水平 教学目标设计 初中数学
中图分类号：G424 文献标识码：A
Teaching Objective Design Based on Students' Geometric Cognitive Level
JIN Meiyue， LI Jing， LUO Man
（School of Mathematics， Liaoning Normal University， Dalian， Liaoning 116029）
Abstract In order to enhance students' cognitive level geometry， and promote the real development of students' cognitive dimension， instructional design must be original geometry student cognitive level basis. The beginning and end of instructional design， teaching objectives are designed to play an important role. Therefore， this paper to Fan Xier theory as a basis， for curriculum standards and student cognitive level geometry distinguish rebel cognitive levels， and as a basis to develop teaching objectives.
Key words geometric cognitive； teaching object design； middle school mathematics
0 前言
为了提升学生的几何认知水平，促进学生认知维度的真正发展，教学设计必须以学生原有的几何认知水平为基础。而教学目标是教学设计的起始点与最终落脚点，是教学设计的灵魂，反映教师对学生取得哪些进步，发展到什么程度的预想和期望。可见，教学目标的正确制定与实施将是促进学生几何认知水平发展的教学设计的关键点。“教学目标”是教育者在教学过程中在完成一阶段（如一节课、一个单元或一个学期）工作时，希望受教育者达到的要求或产生的变化结果。
已有的几何认知水平研究关注了学生几何认知水平调查、几何认知水平性别差异、几何认知水平影响因素、几何认知水平对数学成就的影响以及课标与教材几何认知水平调查，并发现我国大部分中学生都只达到相对较低的几何认知水平，在较高认知水平层面的表现也不尽如人意。
由上述内容可知，我国中学生几何认知水平相对较低。所以，教师应将“提高学生的几何认知水平”作为教学目标的主要方向。所以该文将以“如何制定教学目标设计以促进学生几何认知水平发展”为主要研究问题。所以，该文将以范希尔理论为依据，以人教版《义务教育教科书数学》八年级上册“13.3.1等腰三角形”第一课时为例，试图设置合理的教学目标。
1 基于学生几何认知水平的教学目标设计
1.1 进行课程标准分析，明确教学目标方向
经过对范希尔理论的深入理解与研究，该文给出了课程标准几何认知水平的分析框架，如表1。
例如，教材中“等腰三角形”第一课时的内容有“等腰三角形的概念”和“等腰三角形性质”。课标中的具体内容目标是：“了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。”由表1不难得到，课标对“等腰三角形概念”的要求是“了解”，其属于水平 1；而对“等腰三角形性质”的要求是达到“探索并证明”，属于水平4。
表1 课标知识点要求认知水平分析框架
1.2 进行学情分析，确定教学目标依据
该文结合“等腰三角形概念”和“等腰三角形性质”的具体内容，给出了以下学生几何认知水平学情分析框架：
* 水平1（视觉）：学生能够从直观的层面上识别等腰三角形；能够通过视觉观察，以整体轮廓辨认等腰三角形，使用非标准或标准的名称对其进行描述；能够通过“等腰三角形”进行的具体动手操作，从直观的角度上解决几何问题。但不能用等腰三角形的要素名称或其特征来分析图形，也无法对等腰三角形做出概括性的论述。
* 水平2（分析）：学生能够分析等腰三角形的边与角等组成要素，以及这些组成要素的性质，并依据此来建立等腰三角形的特征，同时应用于具体的几何问题当中；能够应用这些要素对等腰三角形进行辨认与分类。但无法将要素与要素、性质与性质之间的关系说明清楚。
* 水平3（非形式演绎）：能够建立等腰三角形与等腰三角形特征之间的关系，并且能够用自己的、非正式的语言进行说明。能够知道等腰三角形的组成要素的特征，并利用这些特征探索等腰三角形两底角相等、三线合一等内在属性。能够依据已经学习过的定理或性质，进行演绎推理；能够证明熟悉的结果。但是，“等腰三角形”的相关知识，只是凌乱地形成于学生的头脑中，没有建立起联系，不能对其进行比较分析，不能进行系统的证明。
* 水平4（形式演绎）：能够认识到形式逻辑推理的重要性，并能够尝试着应用演绎方式证实自己的猜想；能够对等腰三角形的概念、性质以及判定定理进行归纳总结，并建立它们之间的关系网络；能比较不同的定理证明方法之间的异同点；能理解证明过程中的必要与充分条件；能写出定理的逆定理。
1.3 教学目标制定
已有研究表明，我国大部分中学生都仅仅处于分析水平，所以该文以处于2水平的学生为对象，为了使学生达到课标要求的水平4，制定教学目标如下：
首先，由表1可知，课标对“等腰三角形的概念”的要求处于水平1，而3水平的学生完全有能力从直观上发现和了解“等腰三角形”这一概念。所以教学目标为：学生能经由动手操作，具体实验发现等腰三角形的概念，并从中正确理解概念的含义。其次，对于“等腰三角形的性质定理”的课标要求是能够“探索并证明”，而处于3水平的学生还没有能力使用严谨的逻辑证明一个自己不熟悉的结果，但是，能够对自己“熟悉”的结果进行证明和应用，所以教学目标应为：学生通过实验发现三角形的“等边对等角”和“三线合一”两个性质，并能利用三角形全等证明两个性质。最后，在等腰三角形的判定方面，课标要求能够做到“探索并掌握”，而处于3水平的学生有以上目标的达成对其已经有了一定的基础，但还不能完全掌握，所以教学目标应为：学生能够根据性质定理的证明，探索并推理出“等腰三角形”的判定定理。
2 小结
该文以几何认知水平相关理论为基础，制定了课程标准以及学生几何认知水平的分析框架。同时，在分析课标，分析学情的根基上进行了教学目标的设计，以期实现促进学生认知发展的目的，真正做到“学生为中心”。但教学目标的设定仅仅只是教学设计研究的一部分，接下来还将面对更多的挑战，例如根据“以学生几何认知水平为基础的教学目标”，教学设计应该怎样进行？这样的教学设计又该怎样实施？因此笔者未来将关注以数学认知水平为基础的教学设计的其他方面，还要继续探究几何认知水平与几何教学设计之间密切的、细微的关系，这些研究结果将会对以后教师的教学提供具有实际意义的参考。
资助项目：2012年度辽宁省高教本科教学改革研究项目“促进数学专业师范生专业化发展的课程内容改革研究与实践”研究成果。2013年度辽宁师范大学教师教育研究中心课题研究成果
参考文献
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[4] 金美月，冯雪娇.汉、蒙、朝初中生几何认知水平比较研究[J].民族教育研究，2011（6）：25-28
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[6] 任芬芳.初中数学“图形与几何”内容认知水平比较研究[D].大连：辽宁师范大学，2012.
等腰三角形的性质范文第4篇
论文关键词：等腰三角形,两解问题
等腰三角形是一类重要的三角形，除具有一般三角形的性质外，还有其特殊性质，因而在等腰三角形的计算题中，常常会出现两解现象，下面列举说明。
一．与边有关的两解问题
例1 等腰三角形一边等于3，一边等于5，则它的周长是 。
分析：等腰三角形的边有腰与底边之分，由于3+3＞5，故长为3的边，可能为底边，也可能是腰，所以它的周长是11或13。
二．与角有关的两解问题
例2 已知等腰三角形一个内角是80 ，则它的另外两个角是 。
分析：等腰三角形的角有顶角和底角之分，因而80 的内角可能是顶角也可能是底角，因而另外两角是80 、20 或50 、50 。
三．与高有关的两解问题
例3 等腰三角形一腰上的高与腰得比是1：2，则等腰三角形的顶角为（）。
A.30 B.60 C.150 D.30 或150
分析：等腰三角形的顶角可以是钝角，因而腰上的高可在三角形的内部，也可在三角形的外部。当高在三角形的内部时，顶角是30 ；当高在三角形外时，顶角是150 .故选D。
完成下面的练习：
1.等腰三角形周长是10厘米，一边长是4厘米，则底边长是 厘米。
2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45 ，那么这个等腰三角形的底角为 。
等腰三角形的性质范文第5篇
例如在解有关等腰直角三角形中的一些问题,若遇到不易解决或解法比较复杂时,可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形,再利用正方形的一些性质来解,常常可以起到化难为易,以简驭繁的效果,从而顺利地获得解法,请看如下数例：
1 求角度
例1 如图1,RtBCD中,CD=CB,∠BCD＝90°,E为BCD内一点,且DE＝DC,BE＝CE,求∠CDE的度数.
解析 此题按常规方法不易解出,但由已给条件是等腰直
角三角形,可以引辅助线转化成正方形,具体做法是：
画等腰RtBCD关于BD的对称的等腰RtBAD,可知四边形CBAD为正方形,连结AE,因为BE＝CE,所以∠EBC＝∠ECB,可得∠ABE＝∠DCE＝∠DEC,因为AB＝DC,易证ABE≌DCE,所以AE＝DE＝AD,所以∠ADE＝60°,可得∠CDE＝30°.
2 证角等
介绍正方形中的一个基本性质如下：正方形ABCD中,如图2,BEGN,通过三角形全等可证得BE＝GN.此性质在下面证题中有应用.
例2 如图3,RtABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,M为AC中点,连结BM,作ADBM交BC于点D,连结DM,求证：∠AMB＝∠CMD.
解析 从已知条件出发,此题将原图形引辅助线转化成正方形,使解题思路变得清楚.具体做法是：画等腰RtABC关于BC对称的等腰RtBFC,延长AD交CF于点N,因为ANBM,由正方形的性质,可得AN＝BM,易证RtABM≌RtCAN,所以∠AMB＝∠CND,CN＝AM,因为M为AC中点,所以CM＝CN,因为∠1＝∠2,可证得CMD≌CND,所以∠CND＝∠CMD,所以∠AMB＝∠CMD.
3 判定三角形形状
例3 如图4,RtABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,AD＝CE,ANBD于点M,延长BD交NE的延长线于点F,试判定DEF的形状.
解析 在等腰RtABC中,由ANBD,这里联想到上面提到的正方形的基本性质,因而可将原图形引辅助线转化为正方形.
具体做法是：画出等腰RtABC关于BC对称的等腰RtBHC,可知四边形ABHC为正方形,延长AN交HC于点K,因为AKBD,可知,AK＝BD,易证：RtABD≌RtCAK,所以∠ADB＝∠CKN,CK＝AD,因为AD＝EC,所以CK=CE,易证CKN≌CEN,所以∠CKN＝∠CEN,易证∠EDF＝∠DEF,所以DEF为等腰三角形.
4 求面积
4.1 利用等积变形求矩形面积
例4 如图5,RtABC中,∠A＝90°,AB＝AC,D为BC上一点,DE∥AC,DF∥AB,且BE＝4,CF＝3,求S矩形DFAE.
解析 此题可用相似比来解,也可用方程来解,都嫌得稍繁些,但从已知条件看还是将原图形引辅助线转化为正方形,再利用正方形性质去解较简便.即：画等腰RtABC关于BC的对称的等腰RtGCB,可知四边形ABGC为正方形,分别延长FD、ED交BG、CG于点N、M,可知DN＝EB＝4,DM＝FC＝3,由正方形对称性质,可知,S矩形DFAE＝S矩形DMGN＝DM DN＝3 4＝12.
4.2 利用相似比求三角形面积
例5 如图6,等腰RtABC中,∠A＝90°，AB＝AC＝1,E为腰AC的中点,点F在底边BC上,且EFBE,求SCEF.
解析 将原图形引辅助线转化为正方形,即画等腰RtABC关于BC的对称等腰RtGBC.延长EF交CG于点D,因为EFBE,所以∠CED＋∠AEB＝90°,因为∠A＝90°,所以∠ABE＋∠AEB＝90°,所以∠ABE＝∠CED,而∠ECD＝90°,可知RtABE∽RtCED,再由E为AC中点,即得CE[]CD=AB[]AE＝2,由CF平分∠ECD,所以点F到CE、CD的距离相等,所以SCEF[]SCDF＝CE[]CD＝2,易得SCEF＝2[]3SCED,又AB＝AC＝1,所以SCEF＝2[]3SCED＝2[]3 1[]4 SABE
5 求线段长
例6 如图7,ABC中,ADBC于点D,∠BAC＝45°,BD＝3,CD＝2,求AD的长.
解析 此题可以用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的,但解法太繁,本题尽管已知条件不是等腰直角三角形,但因∠BAC＝45°,若分别以AB、AC为对称轴作RtADB的对称直角三角形和RtADC的对称直角三角形,这样就出现两边相等且夹角为90°的图形,满足等腰直角三角形的条件,然后再引辅助线使之转化为正方形.利用勾股定理列出方程求解较为简便,以具体解法是：AB为轴画RtADB的对称的RtAEB,再以AC为轴画RtADC的对称的RtAFC.可知BE=BD=3,FC=CD=2,延长EB、FC交点G,因为∠BAC＝45°,由对称性,可得∠EAF＝90°,且AE＝AD＝AF,易证四边形AFGE为正方形,且边长等于AD,设AD＝x,则BG＝x－3,CG＝x－2,在RtBCG中,由勾股定理,得(x－2)2+(x－3)2＝52,解得x＝6,即AD＝6.
6 求最小值
例7 如图8,RtABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC＝4,M为AC的中点,P为斜边AB上的动点,求PM＋PC的最小值.
解析 已知点M、C为定点,P为AB上的动点,且点M、C在AB的同旁,要求出PM＋PC的最小值,需找出点C(或点M)关于AB的对称点,具体解法是：将原图形通过引辅助线化归为正方形,即画RtACB关于AB对称的RtADB,可知四边形ACBD为正方形,连接CD,可知点C关于AB的对称点D,连接MD交AB于点P,连接CP,则PM＋PC的值为最小,最小值为：PM＋PC＝DM＝42+22＝25.
从以上数例可以看出,将等腰直角形中较难解决的题目引辅助线转化成正方形能起到解题的关键性作用,使解题思路清楚,目标明确,过程简单.
