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数学归纳法范文第1篇
【关键词】数学归纳法 多米诺骨牌 教法 猜想
数学归纳法是中师数学的教学难点和教研重点，原因是这部分知识对于学生来说，他们的知识准备不足，然而他们具有足够的生活经验。正因为如此，从日常生活经验中体验数学归纳法，为突破难点提供了感性材料。教材不可能提供大量的事例，这就要求教师在备课时深入挖掘，准备足够的材料
一、设悬置疑巧引入学习兴趣盎然来
例1、某主妇养小鸡十只，公母各半。她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐。天天早晨她拿米喂鸡。到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃。”这时，该主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了。这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了，虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃。
我们不妨把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”。
我们介绍以上资料，不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来.
实质上：不完全归纳只是验证了有限个事件，所验证的各项与其后面的项不存在因果关系，故并不能保证其后各项都成立。也就不能保证命题的成立。所以用不完全归纳法可能给出错误的结论。
师生共同回顾等差数列通项公式推导过程：
等差数列的通项公式也是由有限个特殊事例归纳出来的，也可能不正确，一但错误，我们已建立的数列大厦必将倒塌，必须对其进行抢救性证明，如何证明这类有关正整数的命题呢？
然而对于“无限”的命题，我们又不可能将其一一验证，数学归纳法则巧妙地解决了这一问题。数学归纳法则呼之欲出。
二、创设情景共探讨柳暗花明又一村
教师可以利用多媒体播放多米诺骨牌倒下片断，以及放鞭炮的片断。看过之后教师提问学生多米诺骨牌游戏操作的方法？
教师引导学生总结出两个条件：第一，必须推倒第一块，第二个条件是假如前面一块倒下，要保证它倒下时会撞倒下一块。若上述两个条件都满足，我们可以断定什么结论？学生回答：全部的骨牌都倒下。用相似的思路让另一名学生回答一串鞭炮点火后能全部放响应满足什么条件？通过上述的两个学生的回答，使学生对数学归纳法获得感性认识，学习的兴趣和求知欲大大提高，为理解数学归纳法的实质奠定基础。
最后给出结论：
用数学归纳法证明一个命题的正确性，必须要求两条：
（1）验证当n取初值时，这个命题是正确的；
（2）假设n=k时，这个命题是正确的，那么当n=k+1时，这个命题也是正确的。
由以上两步就可以下结论，原命题是成立的。
三、两个步骤皆重要缺一必将入歧途
为了强调数学归纳法的证明过程必须有（1）、（2）这样两个步骤，因为，一个命题，那怕是验算了千万次，也是有限次，并不能肯定这个命题的普遍正确性。为了证明命题对于任何一个正整数n（n有无限多），都是正确的，必须满足数学归纳法所要求的第二条。同时，不要以为第一条看似简单就不屑一顾。缺了第一条的证明也是错误的，比如：
例3、设有命题：n=n+1
假设当n=k时命题成立，即k=k+1，在此式两边各加上1，则有（k+1）=[（k+1）+1]，这表明，当n=k+1时命题也成立。
可是当n=1时，左边是1，右边是2，命题显然不成立。
这里虽然推演出了第二条，但不符合第一条，这个证明是错误的。可以看出，此式对任何正整数都是不成立的，是一个荒谬的命题。
有人问：数学归纳法的第一条是不是可以改为“当n=1，2，3，……的时候，这个命题是正确的”？华先生的回答是：“这样的要求是多余的，同时也是不正确的。”之所以说是“多余”，是因为验证了n=1时的正确性就够了，没有必要还要对n=2和n=3再作验证；之所以说是“不正确”，则在于上述这句话中的“……”，如果是表示一直试下去都正确，那么试问到底要试到什么地步才算试完呢？何况，在没有证明第二条，即没有证明对所有的正整数n都是正确的以前，就说：“当n=1，2，3，……的时候，这个命题是正确的。”是不对的，是犯了逻辑上的错误。
第一步，为命题的成立奠定了基础。
第二步则是给出了所有项之间的递推关系。
四、学生错误想法多师生互动寻对策
学生主要错误有：
（1）“我已用数学归纳法证明了一个定理，而我实际上并不能肯定我所证的定理是否真的成立，因为我用到了归纳假设（命题对某个k成立），但我不知道命题对这个k是否真的成立。”
（2）“我们用数学归纳法的归纳基础和归纳推理证明了一个定理，尽管我们得到了证明，但假设还只是假设。在假设否定时，整个证明就没有根据了。”
（3）“归纳假设”只是假设。你有方法去检验归纳假设所表示的判断成立吗
（4）“使用数学归纳法的证明过程中，归纳推理存在一个缺陷：在这一步中，我们开始时假设命题是正确的，进而依赖它去推出命题成立。”
针对学生的错误，教师引导将以上问题转化为“多米诺骨牌”和放鞭炮问题来思考，转化后相对应的说法是：
假设第K块骨牌倒下，证明了第K+1块骨牌倒下了，第K块骨牌是否会倒下，你证明吗？你用去验证吗？
最后得出正确的结论。学生回答有两种：
（1）第一种类型：“两部分证明之后，就证明了命题对每个大于归纳基础的自然数都成立，假设就成了事实。”
（2）第二种类型：“数学归纳法过程证明了归纳假设。首先，我们肯定了归纳基础；然后，归纳推理的成立又肯定了命题对下一个自然数成立。这样，从归纳法基础开始，这种方法产生了无数个正确命题，于是，命题对每个自然数都成立。”
数学归纳法范文第2篇
关键词：数学归纳法；理解；表征；数学史；抽象概括；教学设计
E.Fischbein和I.Engel在《理解数学归纳法原理的心理困难》一文指出：即使学生掌握了运用数学归纳法证明数学问题，仍有可能对数学归纳法的原理不理解. 具体来说说，也就是对“假设当n=k时，命题成立”的理由不明白. 该文的发表，引起了数学教育界对数学归纳法教学的关注.
陈雪梅、王梅在《关注教学法表征的数学归纳法教学设计》一文中，对该教学内容与教学目标进行了详细的分析，并试图解决学生在数学归纳法学习中的理解困难；王科、汪晓勤在《基于NPM视角和DNR系统的数学归纳法教学设计》一文中，重构数学归纳法的历史演化过程，让学生经历这一过程，以达到让学生理解数学归纳法本质的目的.
笔者在教学实践中发现，按照《关注教学法表征的数学归纳法教学设计》、《基于NPM视角和DNR系统的数学归纳法教学设计》的教学设计实施教学，面临着很多困惑.为了让学生更好地理解数学归纳法，关键是教师要理解到：数学归纳法本质的思维形式不是归纳，而是抽象概括.
《关注教学法表征的数学归纳法教学设计》的教学设计评析
下面引用《关注教学法表征的数学归纳法教学设计》的教学设计：
问题1：我们前面学习了数列，已知数列{an}的第1项a1=1，且an+1=，n∈N+，请大家思考，an的通项公式是什么？
问题2：an=？你是怎样发现这个规律的？
评析：在实际教学中，如果提出上面两个问题，学生会很快回答：因为an+1=，n∈N+，所以=+1. 因为数列是以1为首项，以1为公比的等差数列，所以=n，得an=.
至此，预定教学过程无法进行下去.
再看《关注教学法表征的数学归纳法教学设计》中另一段教学设计：
问题4：刚才我们根据几个特例得出猜想，你如何证明a2=？如何证明a3=？如何证明a4=？它们有类似的过程吗？如果要验证a9=是否成立，你怎么做呢？
预设：
第一步，a1=1成立；
第二步，把a1=1代入a2=，得a2=，命题对n=2成立；
第三步，把a2=代入a3=，得a3=，命题对n=3成立；
第四步，把a3=代入a4=，得a4=，命题对n=4成立；
…
第九步，把a8=代入a9=，得a9=，命题对n=9成立.
问题5：在上述验证过程中，你认为相同或类似的结构是什么？
问题6：你能否尝试描述这些规律呢？
问题7：怎样证明命题an=（n∈N+）对所有自然数都成立呢？
预设：
第一步，当n=1时，命题成立；
第二步，对任意自然数k，如果当n=k时命题成立，一定可以推出n=k+1时命题成立.
评析：笔者观察到，学生在求a9的过程中，都是依次先求a5，a6，a7，a8的，没有人敢跳过求a5，a6，a7，而这直接设a8=.
通过上述分析，学生能明白“如果当n=k时命题成立，一定可以推出n=k+1时命题成立”，但应用到证题过程中，他们还是不能理解“假设n=k时命题成立”的理由，因为这是没证明的.
《基于NPM视角和DNR系统的数学归纳法教学设计》的教学设计评析
《基于NPM视角和DNR系统的数学归纳法教学设计》的教学设计按照2课时来安排，首先列举了识别假币问题、L型棋盘覆盖问题、设置梵天塔问题、证明斐波纳契数列中的整除问题、平面被直线分割问题. 作者设置这些问题的目的，是“吸引学生兴趣，激发学习动机，使学生在解决问题的过程中产生智力需求”.
不知道作者的意思是让教师一道一道分析上面的问题，先行解决这些问题，还是仅仅介绍一下这几个问题. 如果是先行解决这些问题，这其中用到的数学归纳法，教师怎样教给学生的呢？如果仅仅是介绍这些问题，学生可能真的兴趣浓厚，但课堂上学生的思维总停留在这几个问题的欣赏上，无助于学生理解和掌握数学归纳法.
《基于NPM视角和DNR系统的数学归纳法教学设计》列举了三道题给学生练习：
10. 证明：当n≥1时，3（n3+2n）.
11. 证明：当自然数n≥4时，2n
12. 证明：当自然数n≥1时，+++…+=.
评析：把上面的第12题交给学生，不会有人用数学归纳法证明，因为用裂项相抵法解答很简单. 解答第10题、第11题正是要用到本课新学的数学归纳法.然而，作者是怎样以这两题为出发点教给学生数学归纳法的？文中不见阐述. 不至于说弄懂了数学归纳法的历史演变，或者说对数学归纳法有了兴趣就自然而然地掌握了数学归纳法吧！
抽象概括是数学归纳法的本质
新课的引入例太易或太难都是不可取的， 《关注教学法表征的数学归纳法教学设计》的引入例不需要数学归纳法就能求解，不可取；《基于NPM视角和DNR系统的数学归纳法教学设计》的引入例（识别假币问题或整除问题）因太难同样不可取.提出问题后，接着是探究解决问题的办法，在探究的过程中要达到揭示知识本质的目的. 下面是本人的一个教学设计.
题1 已知n∈N+且2≤n≤6，求证：12+22+…+n2=.
课堂上大多数学生的做法是：
当n=2时，左边=12+22=5，右边==5. 因为左边=右边，所以等式成立；
当n=3时，左边=12+22+32=14，右边==14. 因为左边=右边，所以等式成立；
当n=4时，左边=12+22+32+42=30，右边==30. 因为左边=右边，所以等式成立；
当n=5时，左边=12+22+32+42+52=55，右边==55. 因为左边=右边，所以等式成立；
当n=6时，左边=12+22+32+42+52+62=91，右边==91. 因为左边=右边，所以等式成立.
设计意图：让学生体会到，有关自然数的命题，原本是要依据自然数取不同的值，一式一式证明的.
题2？摇 已知n∈N+且7≤n≤30，求证：12+22+…+n2=.
笔者请科代表分配任务，全班合作完成上述公式的证明.
学生甲证明n=10时等式成立，他写道：
左边=12+22+…+102=285+102=385，右边==385.
教师：“你这里用到了12+22+…+92=285，你计算过吗？”
学生：“我没有计算，但同学乙计算过了”.
设计意图：明确证明过的结论是可以运用的，体现了小组合作在课堂教学中的作用.
接着教师指出：“其实，你是在已知‘n=9时，等式成立’的前提下，证明了‘n=10时，等式也成立’. 同学们都是这样想的吗？”
教师发现，学生都是这样做的.
问题3：已知n∈N+且1≤n≤30，求证12+22+…+n2=.
当教师提出这个问题后，学生感叹：刚才全班同学做过的，现在叫我一个完成，是不是太为难人了！
我们知道，运用归纳法得到的结论是不可靠的. 例如，数列{an}中，an=（n2-5n+5）2. 计算得知，a1=a2=a3=a4=1，但并不能得出an=1（n∈N*），因而也无意用归纳法得到什么结论. 但是，我们还是希望从全班学生的“工作”中，抽象概括出一般性的“工作方法”. 慢慢地，学生领悟到：除了证“n取较小的正整数时，等式成立”外，后面的等式可以用“已知n=k时等式成立的前提下，通过证明n=k+1时等式也成立”来概括. 按学生的说法，在认定班上已有同学证明了12+22+…+k2=的基础上，笔者进一步推导：12+22+…+k2+（k+1）2=+（k+1）2==，这就完成了证明.
设计意图：让学生经历从特殊到一般的思维过程，学会运用“抽象概括”这一思维形式. 抽象概括正是数学归纳法的本质.
到此，教师可以顺势推出下题，完成数学归纳法的形式化表述.
问题4：已知n∈N+，求证：12+22+…+n2=.
设计意图：让学生掌握数学归纳法证等式的格式及用词.
为帮助学生更好地掌握数学归纳法证明等式，可以安排下面两道练习让学生尝试解答.
练习1？摇 用数学归纳法证明：当n∈N*时，1×4+2×7+…+n（3n+1）=n（n+1）2.
练习2 用数学归纳法证明：当n∈N*时，-1+3-5+…+（-1）n（2n-1）=（-1）nn.
设计意图：体验新知应用，提高解决问题的能力，突破等式变形难点.
小专题教学法
数学归纳法范文第3篇
【关键词】第一数学归纳法；数列；证明
第一数学归纳法主要用来证明与整数有关的命题，它的步骤如下：
1.设p（n）是与整数n有关的命题，d为一给定的整数，p（d）成立.
2.对任一k，k∈Zd，Zd={n|n≥d，n∈Z}.
由1，2可知对一切n（n∈Zd），命题p（n）成立.
一、先猜想，后用数学归纳法证明的数列题
例1（2013年广东卷理科19题） 设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1，2Sn1n=an+1-113n2-n-213，n∈N.
（1）求a2的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有11a1+11a2+…+11an
简解（1）令n=1代入2Sn1n=an+1-113n2-n-213即可得a2=4.
（2）根据a1=1，2Sn1n=an+1-113n2-n-213，n∈N，就可算出a2=4，a3=9，a4=16，a5=25，…，猜想：an=n2.
下面用数学归纳法证明：
1）当n=1时，a1=12=1，命题成立.
2）假设n=k（k≥1）时，ak=k2成立，则当n=k+1时有
ak+1=2Sk1k+k213+k+213=2（a1+a2+…+ak）1k+k213+k+213=2（12+22+…+k2）1k+k213+k+213=21k×k（k+1）（2k+1）16+k213+k+213=k2+2k+1=（k+1）2，所以当n=k+1时，命题也成立.由1）及2）可知，当n∈N时，an=n2.
（3）此不等式仍然可以用数学归纳法证明，但是先要加强结论，使得不等式的右边也是关于n的式子，即证：对一切正整数n，有11a1+11a2+…+11an
二、加强命题后再用数学归纳法证明的题
例2（2008年辽宁卷第21题）在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列（n∈N）.
（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；
（2）证明：11a1+b1+11a2+b2+…+11an+bn
分析第（1）问采用了第一数学归纳法，第（2）问采用了放缩法，没有用数学归纳法.由于第（2）问右边的式子与n无关，因此不能直接用数学归纳法，不过可以加强结论之后再用数学归纳法证明.
证明（1）略.
（2）n=1时，11a1+b1=112+4
1）当n≥2时，由（1）知an+bn=（n+1）（2n+1）. 当n=2时，命题成立.
数学归纳法范文第4篇
【关键词】 知识归纳；方式；学法指导
我国数学家华罗庚曾经在谈学习方法时说过，有效的读书必须经历“由薄到厚”然后“由厚变薄”这两个过程. 由薄到厚，就是指读书时依据书中内容由表及里或由此及彼来充分地挖掘书本的内涵，读者的收获比书本内容要多. 由厚变薄，它指读者按照一定的方式将书本内容提炼为能反映精髓的纲目要点. 以课题学习为例，课堂上教师对知识的讲解与学生对知识的探索以及知识的运用就是“由薄到厚”的读书过程，而课题知识归纳就是“由厚变薄”读书过程. 然而，绝大多数教师仅注重“由薄到厚”的学习活动设计而忽视“由厚变薄”学法指导. 究其原因，主要是教师学法指导教学理念淡薄而未致力于学法指导的深入研究，以致缺乏有效的指导策略. 本文就数学课程知识归纳方式及其学法指导，谈谈个人的认识.
一、知识归纳若干方式
学生对课程知识的学习是一种循序渐进逐步深入的过程，虽然教材内容具有条理化与系统化特点，但由于课堂学习内容的局限性与课堂学习活动的片段性，学生对课程内容的把握却属于一种零碎的元认知模式，或者说对课程知识与方法还未形成条理化与系统化的认知结构，而条理化与系统化的认知结构又是灵活运用知识解决实际问题的基础. 知识归纳就是梳理知识之间的层级关系，辨析知识之间的内在联系与区别，同时对知识与方法的把握达到要点化、条理化、系统化并简明化，建立便于贮存与提取的信息编码形式，进而提升知识与方法的运用能力[1]. 对于知识归纳方式，依据数学课程知识特点，一般为下面几种方式.
1. 枝干结构式
枝干结构式，就是依据课程知识的形成与结构来梳理知识之间的层级关系，采用树木枝干的形式来表示这种层级关系. 使学生站在知识结构的层面来认识课程内容，从而对课程内容的认知达到条理化与系统化. “枝干结构式”的方式一般用于章节归纳或模块归纳. 如《简易方程》章节，依据教材内容结构，它可以梳理为如下“枝干结构”形式：
上面“枝干结构”中，箭头连接表示知识间的层级关系，箭头方向则表示知识与方法的形成过程，如果学生能明确并梳理成这种知识结构，那么他对简易方程模块知识内涵与解方程的方法则有着本质性的把握.
2. 表格要点式
表格要点式，就是将那些相近或相反概念知识或技能方法，采用表格并比较要点内涵的形式来辨析知识与方法之间的联系与区别，以突破把握中的难点或澄清理解中的混淆点，而这些难点与混淆点正是知识运用的关键点. 如《分数》模块，对于“真分数”与“假分数”等相近概念、“通分”与“约分”等相反运算方法的技能知识，就可以采用如下“表格要点式”方法来归纳：
图形之间联系：正方形是长方形特例，平行四边形是长方形的变形，两个相同的三角形可以组合成一个平行四边形，梯形是平切三角形顶角部分所剩的图形.任意多边形都可以分解为这几种图形的组合.
图文注释式的归纳方式，其特点为内容直观，要点简明，以形象思维为主要方式的小学生，表象思维是其突出的思维特征，因此图文注释式的归纳方式便于学生对知识的长久记忆. 尤其是通过梳理图形之间的联系的归纳过程，它有利于促进领悟各类图形面积计算的研究思路并能较好地掌握各类图形面积的计算方法.
4. 代数示例式
代数形式，即用字母和运算符号来描述事物的数量关系，它是数学学科的特有语言，内容简明，形式简洁，为解决数学问题提供了便捷的思维方式. 代数示例式，就是指用代数形式来表示概念与规律，同时提供相应的具体样例. 小学生在高年级才接触代数，数学形式逻辑思维仅处在起步阶段，具体形象的表象思维仍为他们的主要思维特征. 因此，知识归纳中配置样例可以促进学生对概念与规律的准确理解与把握. 代数示例式的归纳方法适用于代数类课题内容或模块内容.
二、知识归纳学法指导
教学中如何引导学生学会归纳小结，教师要从学生的学力实际出发. 中年级以下的小学生，他们不会分析教材，也不具备相应的能力基础. 高年级学生，他们已具有初步的抽象思维能力，知识与方法积累也达到了一定的程度，基本具备了知识归纳的学力基础. 因此，知识归纳的学习活动应安排在高年级学段开展，其能力与习惯培养的发展过程为：先重在教师引导，逐步过渡由学生自主归纳. 由易到难，循序渐进. 引导学生归纳课程知识，其过程方式如下.
1. 填充引导式
高年级学生，既不具备自主归纳知识的能力，也没有形成知识归纳小结的习惯，因此，起始阶段，还需教师进行有效引导. 填充引导式，就是指教师按某种归纳方式来设计内容要点，由学生填写具体内容. 如对“比”与“分数”内涵的辨析，教师就可以设计“表格要点式”的形式来引导学生辨析归纳：
“比”与“分数”
在平时课题学习中，一般学生都不会将“比”与“分数”来对比辨析，然而教师提供这样“表格”形式，学生学习任务清楚，思维方向明确，通过“表示的意义”的比较可以促进学生认识两者在表征事物方面的本质区别，而通过后面两个栏目的比较又可以促进学生认识两者在运算方面的方法联系. 可见，这种辨析归纳，有助于促进学生对知识理解的深化.
2. 问题启发式
问题启发式，它指教师提出启发性的问题来引导学生进行知识与方法的归纳. “填充引导式”的归纳，它除了能引导学生较好地理解与掌握课程知识与方法外，还具有使学生领悟知识归纳的手段与方法. 当学生基本领悟了知识归纳方式后，教师就可以依据课程知识与内容结构来提出含有启发性的相关问题来引导学生进行有关归纳.
3. 完全自主式
随着“填充引导式”与“问题启发式”归纳活动的开展，学生已建立了知识归纳的学习意识，归纳小结能力也有所发展，对归纳方法也有着全面且较为熟悉的把握. 同时，当学生对教材知识与方法具备了一定的分析能力与概括能力后，教学中就可以要求学生开展自主归纳活动.
课题知识归纳一般安排在课堂进行，而对章节或模块知识的归纳，视容量或难度而定，容量小且难度低的可以作为课堂活动，对于容量大或难度大的知识归纳，最好放在课外. 因为“完全自主式”归纳是一项创造性的学习活动，它需要花费较多的时间，人们常说的“慢工出细活”，就是这个道理.
学会对课程知识的归纳小结，它是学生自主学习能力的重要体现，也是新课程要求“教会学生学会学习”或“让学生掌握学习”的重要方面. 当然，知识归纳还有其他方式，学法指导也可以另辟蹊径.
数学归纳法范文第5篇
【关键词】数学归纳法;递归
数学归纳法是一种证明与正整数有关命题的极为有效的方法。从它被纳入初中数学教学大纲就可以看出它的重要性。在实践中，用于证明问题的方法越来越多，但首选还是数学归纳法，因为它是最直观、最简便的。
一、数学归纳法的内涵
数学归纳法是一个很重要的证明方法，从数学归纳法被发现、发展到实用，关于它的相关知识逐渐丰富到逐步完善。了解数学归纳法的发现和发展的历史，是掌握数学归纳法的基础。理解数学思想方法和原理，是掌握数学归纳法的重要途径。数学归纳法的灵魂是递归思想，掌握它不但能培养我们以数学思想思考问题的习惯，还能提高我们总结经验、归纳规律的能力。
（一）数学归纳法的本源
先从少数的事例中摸索出规律，再从理论上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一。以小孩子识数为例。他们刚开始都是从一学起，一直学下去，直到某一时刻，他们领悟了，所有的数字都会数了。这是一个认识的飞跃，竟从有限跃到了无穷！这就是一个规律的总结。解释这个飞跃现象的原理，就是数学归纳法。数学归纳法大大地帮助我们认识客观事物，由简到繁，由有限到无穷。
我们认识事物的时候，会自然的总结事物的规律，用一种设想将事物给描述出来。当我们对事物有了新的认识的时候，我们要前面的设想，再总结出一个新的设想。首先我们可以把对该事物最基本的认识做为第一个命题，这是能够保证其正确性的;如果我们可以证明在此基础上的第k个认识是正确的时候，第k+1个认识也是正确的，那么，这一系列认识就全部正确。前面的例子也很直观的说明了这个问题。
（二）数学归纳法的发展历史
正整数可以说是人们最先认识的数学概念之一。关于正整数，人们最初只是对有限个正整数的问题进行处理。而正整数是一个无限集。人们研究正整数就不可避免的要涉及到无限集的问题。但人们不可能对正整数做无限次的操作，所以人们只有通过某种方法来实现以有限次的操作去获取无限集的某些性质，来研究涉及无限集的问题。
1893年，意大利数学家皮亚诺建立起正整数的公理体系，他把数学归纳法作为一条公理纳入他的正整数公理系统之中。其形式一般为：
“如果一个由正整数组成的集合S包含有1，又如果S包含有某一数a，就必然也包含有a的后继（即a+1），则S就包含所有的正整数。”
此后，数学归纳法成为证明关于正整数的命题的首选方法，并且又发展出若干变型，如第一数学归纳法，倒推数学归纳法等。
（三）数学归纳法的本质
对于数学归纳法本质的认识，是学习数学归纳法并能正确应用数学归纳法的关键。
数学归纳法被明确提出并广泛应用的很长一段时间里，它的逻辑基础仍是不明确的。直到1889年，意大利数学家皮亚诺发表了《算术原理新方法》，建立起关于正整数的5条公理，才使严格意义下的数学归纳法得以进一步明确。
正整数五条公理：
（1）1是正整数;
（2）1不是任何正整数的后继者;
（3）每一个正整数a都是一个后继者;
（4）若a与b的后继者相等，则a与b也相等;
（5）若有一个由正整数组成的集合S含有1，又若当S含有任一数a时，它一定也含有a的后继者，则S就含有全部正整数。
正整数理论的建立，标志着数学归纳法逻辑基础的奠定。数学归纳法原理可表述为：设p（n）是与自然数n有关的一个命题，如果p（1）成立，若p（k）成立，则p（k+1）成立，那么p（n）对一切正整数n都成立。
数学归纳法有着许多变种，但它的本质还是“1对;假设k对，k+1也对”，理解它并掌握，那么我们也可以变着法子来运用。
在数学归纳法的证法里，它的两个命题都是不可缺少的。即便它是对在n等于1乃至n等于1万都成立，它对于任何自然数是否都成立呢？这却是并不一定的。这样，对于后面那个命题，一般不会被我们遗忘。但是，值得注意的是，我们不能以为“当n=1时，这个命题是正确的”这句话简单而忽略它。在证题时，如果只证了“假设当n=k时，这个命题是正确的，那么当n=k+1时，这个命题也是正确的”，那么这个证明是不完整的、不正确的，它甚至会得出非常荒谬的结论。
如：所有的正整数都相等。
这个命题显然是荒谬的。但是如果我们忽略掉“1对”，那么可以用那个不完整的“数学归纳法”来“证明”它。
首先，我们假设“第k-1个正整数等于第k个正整数”是正确的，即k-1=k;
这时两边都加1，则得k=k+1，即
“第k个正整数等于第k+1个正整数”也是正确的。
这样，我们就得到了所有的正整数都相等这个结论。所以说，数学归纳法的2个组成部分是缺一不可的。
数学归纳法与一般归纳法的根本区别在于，数学归纳法具有明确的论证意识，通过应用归纳法步骤和传递步骤来确保论证的严密性和正确性。庞加莱很明确的指出了普通归纳法和数学归纳法的本质区别，他说：“我们必须承认，这和通常的归纳程序有及其相似之处。但是，其中有一个根本的不同。归纳法，当其应用于自然科学时，常是不确定的，因为它的基础是相信宇宙中有一种普遍顺序，一种在我们之外的顺序。相反，数学归纳法，即递归证法，把自然视为一种必然，因为它不过是心灵本身的一种性质……”。
（四）递归函数
递归思想是数学归纳法的灵魂。一般来说，递归函数是一个在正整数集上定义了的函数。首先，有定义;其次，如果知道了，……，，那么也就完全知道了。
如：由
定义了一个递归函数。通过计算，可以知道=1， =2， =4，=7，……，从而可以得出这个递归函数就是
这个等式就变成一个需要“证明”的问题。而由数学归纳法可以很轻松的解决这个问题。
二、数学归纳法的数学应用
（一）代数恒等式方面的应用
例 1：等差数列的第n项，可以用公式
表示。这里，a1是它的首项，d是公差。
证明：当n=1时，，（1）式是成立的。
假设当n=k时，（1）式成立，那么有
=
=
所以当n=k+1的时候，（1）式也是成立的。
综上所述，对于所以的n，（1）式都是成立的。
例 2：等差数列前n项的和，可以用公式
表示。这里，是它的首项，是公差。
证明 当=1的时候， =，（2）式是成立的。
假设当=k的时候，（2）式是成立的，那么
=
=
=+
所以当n=k+1的时候，（2）式也是成立的。
综上所述，对于所以n，（2）式都是成立的。
这一个公式我们经常应用它解决一些数学题目，以前单纯的相信它，而不去思考它的正确性。但是现在我们在使用一个公式前都应该先运用自己已有的知识去尝试证明它，去思考它是怎么归纳出来的。这个时候，数学归纳法将是我们最好的帮手。
（二）不等式方面的应用
例3：求证n个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数。
n个非负数，，……，的几何平均数是;
算术平均数是
所以本题就是要求证明：
证明 当n=1时，（3）式显然成立。
假设0 QQ……Q
如果，那么所有的（j=1，2，……，n）都相等，（3）式显然成立。
进一步假设 ，并且假设
成立。显然（4）式的右边
因为 =
= +
把等式两边都乘方n（n 1）次，并且由
+ （a 0，b 0）
可知
+n（）
=
R
=……
所以
Q
也成立。于是定理得证。
上题可以说是不等式证明方面的一个比较轻松的例题。因为对于不等式方面的证明并不像恒等式那么直观，所以仅仅是会生搬数学归纳法的证明公式已经无法满足解题需要，我们必须理解数学归纳法的思想才能灵活应用。
运用数学归纳法思想于生活中解决实际问题，是我们学习数学归纳法的目的。数学归纳法不仅仅只是一个证明数学问题的证明方法，它包含了一个很好的看待事物的思想。在日常生活中以数学归纳法的思想看待问题可以帮助我们很轻松的解决一些看起来很复杂的问题。
